文 | 学术头条

让人类高中生头疼的最难数学考试——国际数学奥林匹克竞赛（IMO）——被人工智能（AI）攻克了。

在一项近期公布的研究中，Google DeepMind 团队称他们的几何解题系统 AlphaGeometry 解决了 84%（42/50）的几何难题，其表现首次超过了 IMO 平均金牌得主（40.9/50）的水平。

此外，去年 7 月，AlphaGeometry 也“联手”AlphaProof（一个基于强化学习的形式数学推理新系统），在当年 IMO 中首次达到了银牌获得者的水平。

AlphaGeometry2 是 AlphaGeometry 的显著改进版本。它是一个神经符号混合系统，其语言模型基于 Gemini，并在比其前身多一个数量级的合成数据上从头开始训练。这帮助模型解决更具有挑战性的几何问题，包括关于物体运动和角度、比例或距离的方程问题。

AlphaGeometry2 使用的符号引擎比其前身快两个数量级。面对新问题时，一种新颖的知识共享机制被用来实现不同搜索树的先进组合，以解决更复杂的问题。

对此，伦敦帝国理工学院数学家 Kevin Buzzard 评价道：“我想，不久之后，计算机就能在 IMO 竞赛中拿满分了”。

相关研究论文以“Gold-medalist Performance in Solving Olympiad Geometry with AlphaGeometry2”为题，已发布在预印本网站 arXiv 上。

更强的数学推理，速度提升 300 倍

AlphaGeometry2（AG2）是 Google DeepMind 开发的一款神经-符号混合 AI 系统，用于解决国际数学奥林匹克（IMO）的几何问题。

AG2 结合了语言模型（Neural）和符号推理引擎（Symbolic），采用一种混合推理方法（neuro-symbolic approach）来解决几何问题。相比其前代 AlphaGeometry（AG1），AG2 在解题率、搜索算法、语言模型和符号推理方面都有重大改进，首次超越了 IMO 平均金牌得主的表现。

据论文描述，AG2 在原始 AlphaGeometry（AG1）语言的基础上进行了扩展，使其能够处理更复杂的几何问题，包括：

• 物体移动（Locus-type Problems）：AG2 新增了轨迹（locus）相关谓词，使 AI 能够推理点、直线、圆等几何对象的移动；

• 线性方程问题（Linear Equations）：AG2 现在可以解析涉及角度、比例和距离的线性方程；

• 新的几何谓词（Predicates）：AG2 语言新增了多个谓词，以支持更复杂的几何推理。

  这些扩展将 AG2 语言的覆盖率（coverage rate）从 66% 提高到了 88%，使其能够处理更多 IMO 几何题目。

图｜AG2 与 AG1 的训练数据分布对比（a-c): a.与 AG1 相比，AG2 包含更复杂/更长的问题; b.AG2 在每种问题类型的示例分布上更加均衡; c.G2 在包含辅助点的证明与不包含辅助点的证明之间具有更均衡的比例）

此外，AG2 还采用了 Gemini 语言模型，相比 AG1 具有更强的数学推理能力。该语言模型用于预测几何构造（如辅助线、角度计算等），并帮助生成解题步骤，其训练数据包含 3 亿条自动生成的定理和证明，大幅扩展了 AI 的数学知识库。

同时，AG2 采用了一种新型搜索算法（Shared Knowledge Search Trees, SKEST），引入知识共享机制，将多个搜索树（multiple search trees）结合在一起，相比 AG1 仅用单一搜索策略，AG2 允许不同搜索路径可以共享已验证的数学推理，显著提升了 IMO 竞赛的求解能力。

图｜搜索算法概览：将多个搜索树结合在一起并通过一种特殊的知识共享机制，在它们之间共享已证明的推理

不仅如此，相比 AG1 的符号引擎，AG2 在求解速度上提升 300 倍，并且新增处理“双点”能力，能够解决一些需要构造多个相交点的问题。

探索可泛化 AI

尽管 AG2 已经取得突破性进展，但仍存在一定局限性。在 AG2 未能解决的题目中，有 6 道 IMO 题目因涉及变量点个数、不等式、非线性方程而未能求解，因 AG2 语言尚不支持这些类型；2 道题目涉及更高级的几何技术（如反演、投影几何、根轴法），目前也未在 AG2 的符号引擎中实现。

DeepMind 团队表示，未来 AlphaGeometry 的改进方向将包括处理涉及不等式和非线性方程的数学问题，这些能力对于“完全解决几何问题”至关重要；此外，进一步改进自动数学公式化（Auto-Formalization）技术，使 AI 能更准确地从自然语言解析数学问题也在团队的计划当中。

另外，研究表明，AG2 不仅能够生成辅助构造（auxiliary constructions），还能推导出完整的证明（full proofs），这表明当前的语言模型有潜力在无需外部工具（如符号推理引擎）的情况下独立运行。如果他们的设想正确，这些解题能力可能会成为未来通用人工智能（AGI）的一个重要组成部分。

AlphaGeometry2 或许表明，符号操作和神经网络这两种方法的结合 ，是探索可泛化 AI 的一条有希望的道路。事实上，根据 DeepMind 的论文，同样具有神经网络架构的 o1 无法解决 AlphaGeometry2 能够解答的任何 IMO 问题。